每日一道算法题-寻找丑数

每日一道算法题-寻找丑数

题目:我们把只包含因子2、3和5的数称作丑数(Ugly Number)。例如6、8都是丑数,但14不是,因为它包含因子7。习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第1500个丑数。

分析:寻找一个数是不是满足某种数(质数,水仙数)等,最简单的方法就是遍历,对于任意一个丑数必定可以写成2^m3^n5^p,因而对于一个丑数,只含有2,3,5因子,也就意味着该数number%2==0;number%3==0;number%5==0,如果一个数能被2整除,我们就连续除以2;能被3整除,我们就连续除以3;能被5整除,我们就连续除以5;如果最后得到1,则该数是素数,否则是丑数。

  上面计算中主要的不足在于,逐一遍历,这样对于不是丑数的数的判断会造成大量的时间浪费,如果能够根据已经计算好的丑数,计算出下一个丑数就可以避免这种情况,实现从丑数到丑数的高效算法,根据定义可知,后面的丑数肯定是前面已知丑数乘以2,3,5得到的。

  我们假设一个数组中已经有若干丑数,并且这些丑数是按顺序排列的,我们把现有的最大丑数记为max,则下一个丑数肯定是前面丑数乘以2,3,5得到的。不妨考虑乘以2得到的情况,我们把数组中的每一个数都乘以2,由于原数组是有序的,因为乘以2后也是有序递增的,这样必然存在一个数M2,它前面的每一个数都是小于等于max,而包括M2在内的后面的数都是大于max的,因为我们还是要保持递增顺序,所以我们取第一个大于max的数M2。同理对于乘以3的情况,可以取第一个大于max的数M3,对于乘以5的情况,可以取第一个大于max的数M5。

  最终下一个丑数取:min{M2,M3,M5}即可。

int GetUglyNumber_Solution2(int index)

{

if(index <= 0)

return 0;



int *pUglyNumbers = new int[index];

pUglyNumbers[0] = 1;

int nextUglyIndex = 1;



int *pMultiply2 = pUglyNumbers;

int *pMultiply3 = pUglyNumbers;

int *pMultiply5 = pUglyNumbers;



while(nextUglyIndex < index)

{

int min = Min(*pMultiply2 * 2, *pMultiply3 * 3, *pMultiply5 * 5);

pUglyNumbers[nextUglyIndex] = min;



while(*pMultiply2 * 2 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])

++pMultiply2;

while(*pMultiply3 * 3 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])

++pMultiply3;

while(*pMultiply5 * 5 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])

++pMultiply5;



++nextUglyIndex;

}



int ugly = pUglyNumbers[nextUglyIndex - 1];

delete[] pUglyNumbers;

return ugly;

}



int Min(int number1, int number2, int number3)

{

int min = (number1 < number2) ? number1 : number2;

min = (min < number3) ? min : number3;



return min;

}

 第二种方法由于不需要在非丑数的整数花费时间,因而时间复杂度要小很多,在vc6+win7的平台上,index=1500时,方法1的运行时间为40s,方法2的时间是1s;然而方法2需要动态分配内存,占用空间,而方法2则没有这样的内存开销。说白了,第二种方法是用空间换时间


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